Здесь логарифм, у которого основание тоже зависит от x. С такими работаем в два захода: сначала область определения, потом сравнение с нулём через поведение основания.

Область определения. У логарифма аргумент должен быть положителен: x-1\gt 0. Основание должно быть положительным и не равным единице: x+1\gt 0 и x+1\ne 1. Самое строгое из этих условий — x\gt 1 (тогда и x+1\gt 2, и оснований-единиц нет).

Теперь сравним с нулём. Запишем 0=\log_{x+1}1, ведь логарифм единицы всегда ноль. Получается \log_{x+1}(x-1)\geqslant \log_{x+1}1.

При x\gt 1 основание x+1\gt 2\gt 1, а у логарифма с основанием больше единицы правило простое: «больше аргумент — больше логарифм». Значит можно сравнивать прямо аргументы:

x-1\geqslant 1.

Отсюда x\geqslant 2. Это уже внутри области определения x\gt 1, поэтому ответ — промежуток [2;+\infty).