Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003395

Здесь логарифм, у которого основание тоже зависит от $x$. С такими работаем в два захода: сначала область определения, потом сравнение с нулём через поведение основания.

Область определения. У логарифма аргумент должен быть положителен: $x-1\gt 0$. Основание должно быть положительным и не равным единице: $x+1\gt 0$ и $x+1\ne 1$. Самое строгое из этих условий — $x\gt 1$ (тогда и $x+1\gt 2$, и оснований-единиц нет).

Теперь сравним с нулём. Запишем $0=\log_{x+1}1$, ведь логарифм единицы всегда ноль. Получается $\log_{x+1}(x-1)\geqslant \log_{x+1}1$.

При $x\gt 1$ основание $x+1\gt 2\gt 1$, а у логарифма с основанием больше единицы правило простое: «больше аргумент — больше логарифм». Значит можно сравнивать прямо аргументы:

$$x-1\geqslant 1.$$

Отсюда $x\geqslant 2$. Это уже внутри области определения $x\gt 1$, поэтому ответ — промежуток $[2;+\infty)$.