Слева — сумма логарифмов с основанием 11. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Здесь область определения захватывает и отрицательные x — это легко потерять, поэтому будем внимательны.

Область определения: 2x^{2}+1\gt 0 (всегда), \dfrac1{32x}+1\gt 0 (это x\gt 0 или x\lt -\tfrac1{32}) и \dfrac{x}{16}+1\gt 0 (это x\gt -16). Пересечение: x\in\left(-16;-\tfrac1{32}\right)\cup(0;+\infty).

Сворачиваем левую часть в \log_{11}\!\big((2x^{2}+1)\cdot\frac{1+32x}{32x}\big) и переходим к сравнению аргументов (основание 11\gt 1). Переносим всё влево над общим знаменателем 32x. После раскрытия скобок числитель чудесно упрощается:

(2x^{2}+1)(1+32x)-2x(x+16)=64x^{3}+1.

То есть неравенство равносильно \dfrac{64x^{3}+1}{32x}\geqslant 0. Разложим сумму кубов: 64x^{3}+1=(4x+1)(16x^{2}-4x+1). Второй множитель всегда положителен (у квадратного трёхчлена 16x^{2}-4x+1 дискриминант отрицательный, и ветви вверх), поэтому на знак он не влияет.

Остаётся простое \dfrac{4x+1}{x}\geqslant 0. Нуль числителя x=-\tfrac14 входит, точка x=0 выколота. Решение этого: x\leqslant -\tfrac14 или x\gt 0.

Накладываем ОДЗ. На куске \left(-16;-\tfrac1{32}\right) остаётся \left(-16;-\tfrac14\right], плюс целиком входит (0;+\infty). Отрицательная часть не теряется!