Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003372

Слева — сумма логарифмов с основанием $11$. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Здесь область определения захватывает и отрицательные $x$ — это легко потерять, поэтому будем внимательны.

Область определения: $2x^{2}+1\gt 0$ (всегда), $\dfrac1{32x}+1\gt 0$ (это $x\gt 0$ или $x\lt -\tfrac1{32}$) и $\dfrac{x}{16}+1\gt 0$ (это $x\gt -16$). Пересечение: $x\in\left(-16;-\tfrac1{32}\right)\cup(0;+\infty)$.

Сворачиваем левую часть в $\log_{11}\!\big((2x^{2}+1)\cdot\frac{1+32x}{32x}\big)$ и переходим к сравнению аргументов (основание $11\gt 1$). Переносим всё влево над общим знаменателем $32x$. После раскрытия скобок числитель чудесно упрощается:

$$(2x^{2}+1)(1+32x)-2x(x+16)=64x^{3}+1.$$

То есть неравенство равносильно $\dfrac{64x^{3}+1}{32x}\geqslant 0$. Разложим сумму кубов: $64x^{3}+1=(4x+1)(16x^{2}-4x+1)$. Второй множитель всегда положителен (у квадратного трёхчлена $16x^{2}-4x+1$ дискриминант отрицательный, и ветви вверх), поэтому на знак он не влияет.

Остаётся простое $\dfrac{4x+1}{x}\geqslant 0$. Нуль числителя $x=-\tfrac14$ входит, точка $x=0$ выколота. Решение этого: $x\leqslant -\tfrac14$ или $x\gt 0$.

Накладываем ОДЗ. На куске $\left(-16;-\tfrac1{32}\right)$ остаётся $\left(-16;-\tfrac14\right]$, плюс целиком входит $(0;+\infty)$. Отрицательная часть не теряется!