В таких задачах главное — заметить «спрятанные» формулы. Здесь слева под логарифмом сидит куб, а основания 8 и 2 легко привести к одному.

Присмотримся к левой части: x^{3}-3x^{2}+3x-1 — это в точности (x-1)^{3} (формула куба разности). Значит область определения — там, где аргумент положителен: (x-1)^{3}\gt 0, то есть x\gt 1 (при этом и x^{2}-1\gt 0 автоматически).

Упростим левый логарифм. Основание 8=2^{3}, поэтому \log_8\big((x-1)^{3}\big)=\dfrac{3}{3}\log_2(x-1)=\log_2(x-1). Степень 3 сверху и тройка из основания сократились.

Теперь правая часть: \log_2(x^{2}-1)=\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=\log_2(x-1)+\log_2(x+1). Неравенство становится таким:

\log_2(x-1)\geqslant \log_2(x-1)+\log_2(x+1)-5.

Слагаемое \log_2(x-1) есть и слева, и справа — вычеркнем его. Остаётся 0\geqslant \log_2(x+1)-5, то есть \log_2(x+1)\leqslant 5.

Что значит «логарифм по основанию 2 не больше 5»? Что само число не больше 2^{5}=32: x+1\leqslant 32, откуда x\leqslant 31. Вспоминаем ОДЗ x\gt 1 и получаем промежуток (1;31].