ID: 00003370
Решите неравенство $\log_8(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \ge \log_2(x^2 - 1) - 5$
Источник: ФИПИ
В таких задачах главное — заметить «спрятанные» формулы. Здесь слева под логарифмом сидит куб, а основания $8$ и $2$ легко привести к одному.
Присмотримся к левой части: $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ — это в точности $(x-1)^{3}$ (формула куба разности). Значит область определения — там, где аргумент положителен: $(x-1)^{3}\gt 0$, то есть $x\gt 1$ (при этом и $x^{2}-1\gt 0$ автоматически).
Упростим левый логарифм. Основание $8=2^{3}$, поэтому $\log_8\big((x-1)^{3}\big)=\dfrac{3}{3}\log_2(x-1)=\log_2(x-1)$. Степень $3$ сверху и тройка из основания сократились.
Теперь правая часть: $\log_2(x^{2}-1)=\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=\log_2(x-1)+\log_2(x+1)$. Неравенство становится таким:
$$\log_2(x-1)\geqslant \log_2(x-1)+\log_2(x+1)-5.$$
Слагаемое $\log_2(x-1)$ есть и слева, и справа — вычеркнем его. Остаётся $0\geqslant \log_2(x+1)-5$, то есть $\log_2(x+1)\leqslant 5$.
Что значит «логарифм по основанию $2$ не больше $5$»? Что само число не больше $2^{5}=32$: $x+1\leqslant 32$, откуда $x\leqslant 31$. Вспоминаем ОДЗ $x\gt 1$ и получаем промежуток $(1;31]$.
$x \in (1; 31]$