Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003367

Дробное неравенство относительно $u=\log_8 x$. Соберём всё в одну дробь.

Область определения: $x\gt 0$. Используем $\log_8\dfrac{x}{64}=u-2$ и $\log_8 x^{2}=2u$, поэтому $\log_8^{2}x-\log_8 x^{2}=u^{2}-2u$.

Перенесём всё влево к общему знаменателю $u(u-2)$:

$$\dfrac{u}{u-2}-\dfrac{2}{u}-\dfrac{3}{u(u-2)}\gt 0,\qquad \dfrac{u^{2}-2(u-2)-3}{u(u-2)}\gt 0,\qquad \dfrac{(u-1)^{2}}{u(u-2)}\gt 0.$$

Числитель $(u-1)^{2}\gt 0$ при $u\ne 1$. Дробь положительна, когда знаменатель положителен: $u\lt 0$ или $u\gt 2$.

Возвращаемся к $x$: $u\lt 0$ даёт $0\lt x\lt 1$; $u\gt 2$ даёт $x\gt 64$.