Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 8 x, знаменатель: log по основанию 8 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше дробь: числитель: 2, знаменатель: log по основанию 8 x конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: log по основанию 8 в квадрате x минус log по основанию 8 x в квадрате конец дроби

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 8 x,…

ID: 00003367

Решите неравенство $\dfrac{\log_8 x}{\log_8 \left( \dfrac{x}{64} \right)} > \dfrac{2}{\log_8 x} + \dfrac{3}{\log_8^2 x - \log_8 x^2}$

Источник: ФИПИ

Дробное неравенство относительно $u=\log_8 x$ . Соберём всё в одну дробь.

Область определения: $x\gt 0$ . Используем $\log_8\dfrac{x}{64}=u-2$ и $\log_8 x^{2}=2u$ , поэтому $\log_8^{2}x-\log_8 x^{2}=u^{2}-2u$ .

Перенесём всё влево к общему знаменателю $u(u-2)$ :

$\dfrac{u}{u-2}-\dfrac{2}{u}-\dfrac{3}{u(u-2)}\gt 0,\qquad \dfrac{u^{2}-2(u-2)-3}{u(u-2)}\gt 0,\qquad \dfrac{(u-1)^{2}}{u(u-2)}\gt 0.$

Числитель $(u-1)^{2}\gt 0$ при $u\ne 1$ . Дробь положительна, когда знаменатель положителен: $u\lt 0$ или $u\gt 2$ .

Возвращаемся к $x$ : $u\lt 0$ даёт $0\lt x\lt 1$ ; $u\gt 2$ даёт $x\gt 64$ .

(0;1) U (64;+∞)