ID: 00003364
Решите неравенство $\dfrac{\log_2 32x}{\log_2 x - 5} + \dfrac{\log_2 x - 5}{\log_2 32x} \ge \dfrac{\log_2 x^{16} + 18}{\log_2^2 x - 25}$
Источник: ФИПИ
Слева — сумма дроби и обратной к ней относительно $u=\log_2 x$. Сначала упростим обе части.
Область определения: $x\gt 0$. Используем $\log_2(32x)=5+u$ и $\log_2 x^{16}=16u$.
Сложим левую часть к общему знаменателю $(u-5)(u+5)$. В числителе будет $(5+u)^{2}+(u-5)^{2}=2u^{2}+50$. Неравенство:
$$\dfrac{2u^{2}+50}{(u-5)(u+5)}\geqslant\dfrac{16u+18}{(u-5)(u+5)}.$$
Перенесём правую дробь влево и упростим числитель: $2u^{2}+50-16u-18=2u^{2}-16u+32=2(u-4)^{2}$:
$$\dfrac{(u-4)^{2}}{(u-5)(u+5)}\geqslant 0.$$
Числитель $\geqslant 0$ (ноль при $u=4$). Дробь неотрицательна при $u\lt -5$, при $u\gt 5$ и в точке $u=4$.
Возвращаемся к $x$: $u\lt -5$ даёт $0\lt x\lt\dfrac1{32}$; $u=4$ даёт $x=16$; $u\gt 5$ даёт $x\gt 32$.
(0; 1/32) U {16} U (32; +∞)