Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003364

Слева — сумма дроби и обратной к ней относительно $u=\log_2 x$. Сначала упростим обе части.

Область определения: $x\gt 0$. Используем $\log_2(32x)=5+u$ и $\log_2 x^{16}=16u$.

Сложим левую часть к общему знаменателю $(u-5)(u+5)$. В числителе будет $(5+u)^{2}+(u-5)^{2}=2u^{2}+50$. Неравенство:

$$\dfrac{2u^{2}+50}{(u-5)(u+5)}\geqslant\dfrac{16u+18}{(u-5)(u+5)}.$$

Перенесём правую дробь влево и упростим числитель: $2u^{2}+50-16u-18=2u^{2}-16u+32=2(u-4)^{2}$:

$$\dfrac{(u-4)^{2}}{(u-5)(u+5)}\geqslant 0.$$

Числитель $\geqslant 0$ (ноль при $u=4$). Дробь неотрицательна при $u\lt -5$, при $u\gt 5$ и в точке $u=4$.

Возвращаемся к $x$: $u\lt -5$ даёт $0\lt x\lt\dfrac1{32}$; $u=4$ даёт $x=16$; $u\gt 5$ даёт $x\gt 32$.