Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 2 32x, знаменатель: log по основанию 2 x минус 5 конец дроби плюс дробь: числитель: log по основанию 2 x минус 5, знаменатель: log по основанию 2 32x конец дроби больше или равно дробь: числитель: log по основанию 2 x в степени 16 плюс 18, знаменатель: log по основанию 2 в квадрате x минус 25 конец дроби

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 2 32x,…

ID: 00003364

Решите неравенство $\dfrac{\log_2 32x}{\log_2 x - 5} + \dfrac{\log_2 x - 5}{\log_2 32x} \ge \dfrac{\log_2 x^{16} + 18}{\log_2^2 x - 25}$

Источник: ФИПИ

Слева — сумма дроби и обратной к ней относительно $u=\log_2 x$ . Сначала упростим обе части.

Область определения: $x\gt 0$ . Используем $\log_2(32x)=5+u$ и $\log_2 x^{16}=16u$ .

Сложим левую часть к общему знаменателю $(u-5)(u+5)$ . В числителе будет $(5+u)^{2}+(u-5)^{2}=2u^{2}+50$ . Неравенство:

$\dfrac{2u^{2}+50}{(u-5)(u+5)}\geqslant\dfrac{16u+18}{(u-5)(u+5)}.$

Перенесём правую дробь влево и упростим числитель: $2u^{2}+50-16u-18=2u^{2}-16u+32=2(u-4)^{2}$ :

$\dfrac{(u-4)^{2}}{(u-5)(u+5)}\geqslant 0.$

Числитель $\geqslant 0$ (ноль при $u=4$ ). Дробь неотрицательна при $u\lt -5$ , при $u\gt 5$ и в точке $u=4$ .

Возвращаемся к $x$ : $u\lt -5$ даёт $0\lt x\lt\dfrac1{32}$ ; $u=4$ даёт $x=16$ ; $u\gt 5$ даёт $x\gt 32$ .

(0; 1/32) U {16} U (32; +∞)