ID: 00003362
Решите неравенство $\dfrac{2\log_3(9x) - 13}{\log_3^2 x - \log_3 x^4} \le 1$.
Источник: ФИПИ
Несколько раз встречается $\log_3 x$ — заменим его буквой $u$ и сведём к дробному неравенству.
Область определения: $x\gt 0$ (под логарифмами $x$), плюс знаменатель не должен быть нулём — это учтём ниже. Используем $\log_3(9x)=2+u$ и $\log_3 x^{4}=4u$.
Числитель: $2(2+u)-13=2u-9$. Знаменатель: $u^{2}-4u$. Неравенство:
$$\dfrac{2u-9}{u^{2}-4u}\leqslant 1.$$
Перенесём единицу влево и приведём к одной дроби:
$$\dfrac{2u-9-(u^{2}-4u)}{u^{2}-4u}\leqslant 0,\qquad \dfrac{-(u-3)^{2}}{u(u-4)}\leqslant 0,\qquad \dfrac{(u-3)^{2}}{u(u-4)}\geqslant 0.$$
Числитель $(u-3)^{2}$ всегда $\geqslant 0$ и равен нулю при $u=3$. Значит дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен ($u\lt 0$ или $u\gt 4$) либо когда числитель равен нулю ($u=3$).
Возвращаемся к $x$: $u\lt 0$ даёт $0\lt x\lt 1$; $u=3$ даёт $x=27$; $u\gt 4$ даёт $x\gt 81$.
(0; 1) U {27} U (81; +∞)