Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003362

Несколько раз встречается $\log_3 x$ — заменим его буквой $u$ и сведём к дробному неравенству.

Область определения: $x\gt 0$ (под логарифмами $x$), плюс знаменатель не должен быть нулём — это учтём ниже. Используем $\log_3(9x)=2+u$ и $\log_3 x^{4}=4u$.

Числитель: $2(2+u)-13=2u-9$. Знаменатель: $u^{2}-4u$. Неравенство:

$$\dfrac{2u-9}{u^{2}-4u}\leqslant 1.$$

Перенесём единицу влево и приведём к одной дроби:

$$\dfrac{2u-9-(u^{2}-4u)}{u^{2}-4u}\leqslant 0,\qquad \dfrac{-(u-3)^{2}}{u(u-4)}\leqslant 0,\qquad \dfrac{(u-3)^{2}}{u(u-4)}\geqslant 0.$$

Числитель $(u-3)^{2}$ всегда $\geqslant 0$ и равен нулю при $u=3$. Значит дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен ($u\lt 0$ или $u\gt 4$) либо когда числитель равен нулю ($u=3$).

Возвращаемся к $x$: $u\lt 0$ даёт $0\lt x\lt 1$; $u=3$ даёт $x=27$; $u\gt 4$ даёт $x\gt 81$.