Под обоими логарифмами по сути одно выражение 6-x, только справа оно в квадрате. Главное — заметить это и привести логарифмы к одному основанию 5.

Заметим, что x^{2}-12x+36=(x-6)^{2}=(6-x)^{2}. Тогда область определения задаётся условием 6-x\gt 0, то есть x\lt 6 (при этом |6-x|=6-x).

Перейдём к основанию 5: \log_{625}(6-x)=\dfrac14\log_5(6-x) (ведь 625=5^{4}), а \log_5\big((6-x)^{2}\big)=2\log_5(6-x). Неравенство становится:

\dfrac{x^{2}}{4}\log_5(6-x)\lt 2\log_5(6-x).

Перенесём всё влево и для удобства умножим на 4. Тогда можно вынести общий множитель \log_5(6-x):

(x^{2}-8)\,\log_5(6-x)\lt 0.

Теперь произведение двух множителей должно быть отрицательным — значит, они разных знаков. Разберём знаки. Логарифм \log_5(6-x) положителен, когда 6-x\gt 1 (то есть x\lt 5), равен нулю при x=5 и отрицателен при 5\lt x\lt 6. Скобка x^{2}-8 обращается в ноль в точках \pm 2\sqrt2.

Перебирая промежутки на области x\lt 6, находим, где множители разного знака: при -2\sqrt2\lt x\lt 2\sqrt2 (скобка \lt 0, логарифм \gt 0) и при 5\lt x\lt 6 (скобка \gt 0, логарифм \lt 0).