Логарифмичес… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003360

Под обоими логарифмами по сути одно выражение $6-x$, только справа оно в квадрате. Главное — заметить это и привести логарифмы к одному основанию $5$.

Заметим, что $x^{2}-12x+36=(x-6)^{2}=(6-x)^{2}$. Тогда область определения задаётся условием $6-x\gt 0$, то есть $x\lt 6$ (при этом $|6-x|=6-x$).

Перейдём к основанию $5$: $\log_{625}(6-x)=\dfrac14\log_5(6-x)$ (ведь $625=5^{4}$), а $\log_5\big((6-x)^{2}\big)=2\log_5(6-x)$. Неравенство становится:

$$\dfrac{x^{2}}{4}\log_5(6-x)\lt 2\log_5(6-x).$$

Перенесём всё влево и для удобства умножим на $4$. Тогда можно вынести общий множитель $\log_5(6-x)$:

$$(x^{2}-8)\,\log_5(6-x)\lt 0.$$

Теперь произведение двух множителей должно быть отрицательным — значит, они разных знаков. Разберём знаки. Логарифм $\log_5(6-x)$ положителен, когда $6-x\gt 1$ (то есть $x\lt 5$), равен нулю при $x=5$ и отрицателен при $5\lt x\lt 6$. Скобка $x^{2}-8$ обращается в ноль в точках $\pm 2\sqrt2$.

Перебирая промежутки на области $x\lt 6$, находим, где множители разного знака: при $-2\sqrt2\lt x\lt 2\sqrt2$ (скобка $\lt 0$, логарифм $\gt 0$) и при $5\lt x\lt 6$ (скобка $\gt 0$, логарифм $\lt 0$).