Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003359

Под логарифмом везде стоит одно и то же выражение $x^{2}-9$, и логарифм встречается в квадрате. Это прямая подсказка: заменим $\log_2(x^{2}-9)$ одной буквой и получим квадратное неравенство.

Сначала область определения. Логарифм существует от положительного, поэтому $x^{2}-9\gt 0$, то есть $x\lt -3$ или $x\gt 3$.

Теперь обозначим $u=\log_2(x^{2}-9)$. Неравенство превращается в квадратное:

$$u^{2}-9u+20\geqslant 0,\qquad (u-4)(u-5)\geqslant 0.$$

Произведение неотрицательно вне корней: $u\leqslant 4$ или $u\geqslant 5$. Разберём оба случая отдельно.

Случай $u\leqslant 4$: $\log_2(x^{2}-9)\leqslant 4$ означает $x^{2}-9\leqslant 2^{4}=16$ (и при этом $x^{2}-9\gt 0$). Получаем $9\lt x^{2}\leqslant 25$. С учётом ОДЗ это $-5\leqslant x\lt -3$ или $3\lt x\leqslant 5$.

Случай $u\geqslant 5$: $\log_2(x^{2}-9)\geqslant 5$ означает $x^{2}-9\geqslant 2^{5}=32$, то есть $x^{2}\geqslant 41$. Это $x\leqslant -\sqrt{41}$ или $x\geqslant\sqrt{41}$.

Соберём оба случая вместе — получаем четыре промежутка.