Под логарифмом везде стоит одно и то же выражение x^{2}-9, и логарифм встречается в квадрате. Это прямая подсказка: заменим \log_2(x^{2}-9) одной буквой и получим квадратное неравенство.

Сначала область определения. Логарифм существует от положительного, поэтому x^{2}-9\gt 0, то есть x\lt -3 или x\gt 3.

Теперь обозначим u=\log_2(x^{2}-9). Неравенство превращается в квадратное:

u^{2}-9u+20\geqslant 0,\qquad (u-4)(u-5)\geqslant 0.

Произведение неотрицательно вне корней: u\leqslant 4 или u\geqslant 5. Разберём оба случая отдельно.

Случай u\leqslant 4: \log_2(x^{2}-9)\leqslant 4 означает x^{2}-9\leqslant 2^{4}=16 (и при этом x^{2}-9\gt 0). Получаем 9\lt x^{2}\leqslant 25. С учётом ОДЗ это -5\leqslant x\lt -3 или 3\lt x\leqslant 5.

Случай u\geqslant 5: \log_2(x^{2}-9)\geqslant 5 означает x^{2}-9\geqslant 2^{5}=32, то есть x^{2}\geqslant 41. Это x\leqslant -\sqrt{41} или x\geqslant\sqrt{41}.

Соберём оба случая вместе — получаем четыре промежутка.