Логарифмичес… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003357

В неравенстве несколько раз встречается $\log_2 x$. Это подсказка: заменим его одной буквой, и неравенство станет обычным квадратным.

Сначала область определения. Под логарифмом стоит $x$, а логарифм существует только от положительных чисел, поэтому $x\gt 0$.

Теперь обозначим $u=\log_2 x$. Перенесём всё в левую часть. Из $\log_2^{2}x+3\log_2 x+3\leqslant 1$ получаем:

$$u^{2}+3u+2\leqslant 0.$$

Разложим левую часть на множители. Корни трёхчлена $u=-1$ и $u=-2$, поэтому $u^{2}+3u+2=(u+1)(u+2)$:

$$(u+1)(u+2)\leqslant 0.$$

Произведение двух скобок отрицательно (или равно нулю), когда $u$ находится между корнями: $-2\leqslant u\leqslant -1$.

Возвращаемся к $x$. Запись $-2\leqslant\log_2 x\leqslant -1$ означает, что $x$ зажат между $2^{-2}$ и $2^{-1}$, то есть $\dfrac14\leqslant x\leqslant\dfrac12$. Оба числа положительны, так что область определения не нарушена.