В неравенстве несколько раз встречается \log_2 x. Это подсказка: заменим его одной буквой, и неравенство станет обычным квадратным.

Сначала область определения. Под логарифмом стоит x, а логарифм существует только от положительных чисел, поэтому x\gt 0.

Теперь обозначим u=\log_2 x. Перенесём всё в левую часть. Из \log_2^{2}x+3\log_2 x+3\leqslant 1 получаем:

u^{2}+3u+2\leqslant 0.

Разложим левую часть на множители. Корни трёхчлена u=-1 и u=-2, поэтому u^{2}+3u+2=(u+1)(u+2):

(u+1)(u+2)\leqslant 0.

Произведение двух скобок отрицательно (или равно нулю), когда u находится между корнями: -2\leqslant u\leqslant -1.

Возвращаемся к x. Запись -2\leqslant\log_2 x\leqslant -1 означает, что x зажат между 2^{-2} и 2^{-1}, то есть \dfrac14\leqslant x\leqslant\dfrac12. Оба числа положительны, так что область определения не нарушена.