Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003356

И в числителе, и в знаменателе спрятан общий множитель. Найдём его разложением — но обязательно запомним, где он обращается в ноль, иначе потеряем «дырку» в области определения.

Числитель: $6^{x}-3\cdot 2^{x}=2^{x}(3^{x}-3)$. Знаменатель сгруппируем: $3^{x}\cdot x-3x+5\cdot 3^{x}-15=x(3^{x}-3)+5(3^{x}-3)=(3^{x}-3)(x+5)$.

Множитель $3^{x}-3$ равен нулю при $x=1$. В этой точке исходная дробь не определена, поэтому $x=1$ сразу исключаем.

При $x\ne 1$ сокращаем на $3^{x}-3$ и получаем:

$$\dfrac{2^{x}}{x+5}\leqslant\dfrac{4}{x+5}.$$

Перенесём всё влево: $\dfrac{2^{x}-4}{x+5}\leqslant 0$. Нуль числителя $x=2$ (входит), точка разрыва $x=-5$ (выколота). Дробь не больше нуля на $(-5;2]$.

Не забываем убрать ранее найденную точку $x=1$. Итог: $x\in(-5;1)\cup(1;2]$.