ID: 00003354
Решите неравенство $\dfrac{4^x - 3 2^{x+1} + 4}{2^x - 5} + \dfrac{3 2^{x+1} - 46}{2^x - 8} < 2^x + 5$
Источник: ФИПИ
Неравенство выглядит громоздко, но сильно упрощается, если в каждой дроби выделить целую часть.
Пусть $t=2^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $4^{x}=t^{2}$, $3\cdot 2^{x+1}=6t$, и неравенство переписывается так:
$$\dfrac{t^{2}-6t+4}{t-5}+\dfrac{6t-46}{t-8}\lt t+5.$$
В первой дроби выделим целую часть: $t^{2}-6t+4=(t-5)(t-1)-1$, поэтому $\dfrac{t^{2}-6t+4}{t-5}=(t-1)-\dfrac{1}{t-5}$.
Во второй: $6t-46=6(t-8)+2$, значит $\dfrac{6t-46}{t-8}=6+\dfrac{2}{t-8}$.
Подставим. Слагаемые $(t-1)+6$ слева и $t+5$ справа взаимно уничтожаются (их разность равна нулю), и остаётся:
$$\dfrac{2}{t-8}-\dfrac{1}{t-5}\lt 0,\qquad \dfrac{t-2}{(t-8)(t-5)}\lt 0.$$
Точки $2,5,8$ выколоты (знак строгий). С учётом $t\gt 0$ получаем $0\lt t\lt 2$ и $5\lt t\lt 8$.
Возвращаемся к $x$: $2^{x}\lt 2$ даёт $x\lt 1$; $5\lt 2^{x}\lt 8$ даёт $\log_2 5\lt x\lt 3$.
$x \in (-\infty; 1) \cup (\log_2 5; 3)$