Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003354

Неравенство выглядит громоздко, но сильно упрощается, если в каждой дроби выделить целую часть.

Пусть $t=2^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $4^{x}=t^{2}$, $3\cdot 2^{x+1}=6t$, и неравенство переписывается так:

$$\dfrac{t^{2}-6t+4}{t-5}+\dfrac{6t-46}{t-8}\lt t+5.$$

В первой дроби выделим целую часть: $t^{2}-6t+4=(t-5)(t-1)-1$, поэтому $\dfrac{t^{2}-6t+4}{t-5}=(t-1)-\dfrac{1}{t-5}$.

Во второй: $6t-46=6(t-8)+2$, значит $\dfrac{6t-46}{t-8}=6+\dfrac{2}{t-8}$.

Подставим. Слагаемые $(t-1)+6$ слева и $t+5$ справа взаимно уничтожаются (их разность равна нулю), и остаётся:

$$\dfrac{2}{t-8}-\dfrac{1}{t-5}\lt 0,\qquad \dfrac{t-2}{(t-8)(t-5)}\lt 0.$$

Точки $2,5,8$ выколоты (знак строгий). С учётом $t\gt 0$ получаем $0\lt t\lt 2$ и $5\lt t\lt 8$.

Возвращаемся к $x$: $2^{x}\lt 2$ даёт $x\lt 1$; $5\lt 2^{x}\lt 8$ даёт $\log_2 5\lt x\lt 3$.