Неравенство выглядит громоздко, но сильно упрощается, если в каждой дроби выделить целую часть.

Пусть t=2^{x}, t\gt 0. Тогда 4^{x}=t^{2}, 3\cdot 2^{x+1}=6t, и неравенство переписывается так:

\dfrac{t^{2}-6t+4}{t-5}+\dfrac{6t-46}{t-8}\lt t+5.

В первой дроби выделим целую часть: t^{2}-6t+4=(t-5)(t-1)-1, поэтому \dfrac{t^{2}-6t+4}{t-5}=(t-1)-\dfrac{1}{t-5}.

Во второй: 6t-46=6(t-8)+2, значит \dfrac{6t-46}{t-8}=6+\dfrac{2}{t-8}.

Подставим. Слагаемые (t-1)+6 слева и t+5 справа взаимно уничтожаются (их разность равна нулю), и остаётся:

\dfrac{2}{t-8}-\dfrac{1}{t-5}\lt 0,\qquad \dfrac{t-2}{(t-8)(t-5)}\lt 0.

Точки 2,5,8 выколоты (знак строгий). С учётом t\gt 0 получаем 0\lt t\lt 2 и 5\lt t\lt 8.

Возвращаемся к x: 2^{x}\lt 2 даёт x\lt 1; 5\lt 2^{x}\lt 8 даёт \log_2 5\lt x\lt 3.