Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003350

В обеих дробях сидит $3^{x}$. Заменим эту степень одной буквой и решим обычное дробное неравенство.

Пусть $t=3^{x}$, и помним, что $t\gt 0$. Перенесём правую дробь влево, чтобы сравнивать с нулём:

$$\dfrac{2}{t+27}-\dfrac{1}{t-27}\geqslant 0.$$

Сложим дроби. Общий знаменатель — $(t+27)(t-27)$, а числитель: $2(t-27)-(t+27)$:

$$\dfrac{2(t-27)-(t+27)}{(t+27)(t-27)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{t-81}{(t+27)(t-27)}\geqslant 0.$$

Так как $t\gt 0$, множитель $t+27$ положителен — на него сокращаем без смены знака:

$$\dfrac{t-81}{t-27}\geqslant 0.$$

Отметим точки: $t=81$ (числитель ноль — точка входит) и $t=27$ (знаменатель ноль — точка выколота). Дробь неотрицательна при $0\lt t\lt 27$ и при $t\geqslant 81$.

Возвращаемся к $x$: $3^{x}\lt 27=3^{3}$ даёт $x\lt 3$; $3^{x}\geqslant 81=3^{4}$ даёт $x\geqslant 4$.