Выглядит страшно: степени, а в показателях — целые «этажи» логарифмов. Но есть правило, которое такие башни плавит: a^{\log_a t}=t. Если в показателе стоит логарифм по тому же основанию, что и у степени, они сокращаются. Вся задача — увидеть это сокращение.

Сначала область определения — где запись вообще имеет смысл. Под самым внутренним логарифмом стоит -x, поэтому -x\gt 0, то есть x\lt 0. Дальше: выражение \log_{1/2}(-x) само стоит под логарифмом, значит оно должно быть положительным; то же и для \log_{1/7}(-x). Основания \tfrac12 и \tfrac17 меньше единицы, а у таких логарифмов «положительно — значит аргумент меньше 1». Получаем -x\lt 1, то есть x\gt -1. Итог: -1\lt x\lt 0.

Теперь упростим левую часть. Обозначим p=\log_{1/2}(-x) (мы только что выяснили, что p\gt 0). В показателе слева стоит \log_{1/7}p. Поменяем основание: \log_{1/7}p=-\log_7 p. Тогда 7^{\log_{1/7}p}=7^{-\log_7 p}=\dfrac{1}{7^{\log_7 p}}=\dfrac1p.

Точно так же справа: обозначим q=\log_{1/7}(-x) (тоже q\gt 0). Показатель \log_{1/2}q=-\log_2 q, поэтому 2^{\log_{1/2}q}=\dfrac1q. Всё неравенство стало совсем простым:

\dfrac1p\lt \dfrac1q.

Числа p и q положительны. А у положительных чисел правило такое: «больше само число — меньше его перевёрнутая дробь». Поэтому \dfrac1p\lt \dfrac1q означает ровно q\lt p, то есть \log_{1/7}(-x)\lt \log_{1/2}(-x).

Осталось понять, когда это верно. Запишем оба логарифма через один и тот же натуральный логарифм: \log_{1/7}(-x)=\dfrac{-\ln(-x)}{\ln 7} и \log_{1/2}(-x)=\dfrac{-\ln(-x)}{\ln 2}. На нашей области -x\lt 1, значит \ln(-x)\lt 0, и сверху стоит положительное число -\ln(-x). Знаменатели разные: \ln 2\lt \ln 7. Одно и то же положительное число делим на меньшее \ln 2 — выходит больше. Значит правая дробь действительно больше левой, q\lt p выполняется всюду.

Вывод: неравенство верно для каждого x из области определения, то есть на всём промежутке -1\lt x\lt 0.