Логарифмичес… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003341

Выглядит страшно: степени, а в показателях — целые «этажи» логарифмов. Но есть правило, которое такие башни плавит: $a^{\log_a t}=t$. Если в показателе стоит логарифм по тому же основанию, что и у степени, они сокращаются. Вся задача — увидеть это сокращение.

Сначала область определения — где запись вообще имеет смысл. Под самым внутренним логарифмом стоит $-x$, поэтому $-x\gt 0$, то есть $x\lt 0$. Дальше: выражение $\log_{1/2}(-x)$ само стоит под логарифмом, значит оно должно быть положительным; то же и для $\log_{1/7}(-x)$. Основания $\tfrac12$ и $\tfrac17$ меньше единицы, а у таких логарифмов «положительно — значит аргумент меньше $1$». Получаем $-x\lt 1$, то есть $x\gt -1$. Итог: $-1\lt x\lt 0$.

Теперь упростим левую часть. Обозначим $p=\log_{1/2}(-x)$ (мы только что выяснили, что $p\gt 0$). В показателе слева стоит $\log_{1/7}p$. Поменяем основание: $\log_{1/7}p=-\log_7 p$. Тогда $7^{\log_{1/7}p}=7^{-\log_7 p}=\dfrac{1}{7^{\log_7 p}}=\dfrac1p$.

Точно так же справа: обозначим $q=\log_{1/7}(-x)$ (тоже $q\gt 0$). Показатель $\log_{1/2}q=-\log_2 q$, поэтому $2^{\log_{1/2}q}=\dfrac1q$. Всё неравенство стало совсем простым:

$$\dfrac1p\lt \dfrac1q.$$

Числа $p$ и $q$ положительны. А у положительных чисел правило такое: «больше само число — меньше его перевёрнутая дробь». Поэтому $\dfrac1p\lt \dfrac1q$ означает ровно $q\lt p$, то есть $\log_{1/7}(-x)\lt \log_{1/2}(-x)$.

Осталось понять, когда это верно. Запишем оба логарифма через один и тот же натуральный логарифм: $\log_{1/7}(-x)=\dfrac{-\ln(-x)}{\ln 7}$ и $\log_{1/2}(-x)=\dfrac{-\ln(-x)}{\ln 2}$. На нашей области $-x\lt 1$, значит $\ln(-x)\lt 0$, и сверху стоит положительное число $-\ln(-x)$. Знаменатели разные: $\ln 2\lt \ln 7$. Одно и то же положительное число делим на меньшее $\ln 2$ — выходит больше. Значит правая дробь действительно больше левой, $q\lt p$ выполняется всюду.

Вывод: неравенство верно для каждого $x$ из области определения, то есть на всём промежутке $-1\lt x\lt 0$.