Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003339

Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\cos 2x=1-2\sin^2 x$:

$$2\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$$

Вынесем $2\sin x$:

$$2\sin x\,(\cos x-\sin x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\sin x\;\Rightarrow\;\operatorname{tg} x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- 3 \pi, - \frac{11 \pi}{4}, - 2 \pi$$