ID: 00003339
а) Решите уравнение $\sin 2x + \cos 2x = 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\cos 2x=1-2\sin^2 x$:
$$2\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$$
Вынесем $2\sin x$:
$$2\sin x\,(\cos x-\sin x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\sin x\;\Rightarrow\;\operatorname{tg} x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 3 \pi, - \frac{11 \pi}{4}, - 2 \pi$$
Ответ: а) $\pi k, k \in \mathbb{Z};$ $\dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi; -\dfrac{11\pi}{4}; -2\pi$