Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00003338

Найдём производную почленно:

$$y' = 5x^4 + 15x^2 - 140 = 5(x^4 + 3x^2 - 28).$$

Сделаем замену $t = x^2$: уравнение $t^2 + 3t - 28 = 0$ имеет корни $t = 4$ и $t = -7$; второй не подходит, так как квадрат не бывает отрицательным.

Возвращаемся к $x$: $x^2 = 4$, то есть $x = -2$ или $x = 2$. В отрезок $[-8;\ -1]$ попадает только $x = -2$.

Разложим производную: $y' = 5(x^2 + 7)(x - 2)(x + 2)$; множители $5(x^2+7)$ и $(x-2)$ на отрезке знак не меняют (первый положителен, второй отрицателен).

Поэтому при $x \lt -2$ производная положительна (функция растёт), при $-2 \lt x \le -1$ — отрицательна (убывает): в точке $x = -2$ максимум.

Наибольшее значение — в точке максимума:

$$y(-2) = (-2)^5 + 5 \cdot (-2)^3 - 140 \cdot (-2) = -32 - 40 + 280 = 208.$$