ID: 00003271
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33.
Источник: ФИПИ
Пусть в параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла B пересекает сторону AD в точке K.
Накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD равны: \angle KBC = \angle BKA.
Но биссектриса делит угол B пополам, значит, \angle ABK = \angle KBC = \angle BKA — треугольник ABK равнобедренный, и AK = AB.
По условию точка K делит AD в отношении 3:4, считая от вершины острого угла A: AK = 3y, KD = 4y.
Тогда AB = AK = 3y, а AD = 7y, и периметр складывается из двух пар сторон:
2(AB + AD) = 2(3y + 7y) = 20y = 33, \quad y = 1{,}65.
Большая сторона — это AD:
AD = 7y = 7 \cdot 1{,}65 = 11{,}55.