ID: 00003271
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33.
Источник: ФИПИ
Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектриса тупого угла $B$ пересекает сторону $AD$ в точке $K$.
Накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ равны: $\angle KBC = \angle BKA$.
Но биссектриса делит угол $B$ пополам, значит, $\angle ABK = \angle KBC = \angle BKA$ — треугольник $ABK$ равнобедренный, и $AK = AB$.
По условию точка $K$ делит $AD$ в отношении $3:4$, считая от вершины острого угла $A$: $AK = 3y$, $KD = 4y$.
Тогда $AB = AK = 3y$, а $AD = 7y$, и периметр складывается из двух пар сторон:
$$2(AB + AD) = 2(3y + 7y) = 20y = 33, \quad y = 1{,}65.$$
Большая сторона — это $AD$:
$$AD = 7y = 7 \cdot 1{,}65 = 11{,}55.$$