Global EE

Логарифмичес… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00003084

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Логарифмические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00003084

Водолазный колокол, содержащий $\upsilon=3$ моль воздуха объёмом $V_1=16$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = \alpha \upsilon T \log_2 \frac{V_1}{V_2}$, где $\alpha=9,9$ $\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ — постоянная, $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа $26\,730$ Дж. Ответ дайте в литрах.

Источник: Основная волна ЕГЭ 2026 (Сибирь)

Решение

В задаче дана формула работы, и в ней неизвестен только конечный объём $V_2$. Подставим известные величины:

$$26730=9{,}9\cdot 3\cdot 300\cdot\log_2\dfrac{16}{V_2}$$

Перемножим числа перед логарифмом: $9{,}9\cdot 3\cdot 300=8910$. Получаем:

$$26730=8910\cdot\log_2\dfrac{16}{V_2}$$

Разделим обе части на $8910$, чтобы остался один логарифм:

$$\log_2\dfrac{16}{V_2}=\dfrac{26730}{8910}=3$$

Логарифм по основанию $2$ равен $3$ означает, что аргумент равен $2^{3}=8$:

$$\dfrac{16}{V_2}=8$$

Отсюда находим объём:

$$V_2=\dfrac{16}{8}=2$$

Проверка: $8910\cdot\log_2\dfrac{16}{2}=8910\cdot\log_2 8=8910\cdot 3=26730$ — совпало.

Типичная ошибка — записать ответ $8$, забыв, что $8$ — это отношение $\dfrac{16}{V_2}$, а не сам объём.

Ответ

2
Другие задания по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» (8)