ID: 00003056
а) Решите уравнение \cos 2x + \sin(-x) - 1 = 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ \dfrac{\pi}{2}; 2\pi \right]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Используем \cos 2x=1-2\sin^2 x и \sin(-x)=-\sin x:
1-2\sin^2 x-\sin x-1=0
Упростим и вынесем \sin x:
\sin x\,(2\sin x+1)=0
Выпишем все серии корней:
\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\pi, \frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}, 2 \pi
x = \pi n, \ n \in \mathbb{Z}
x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m, \ m \in \mathbb{Z}
x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi c, \ c \in \mathbb{Z}
\text{б)} \ [\frac{\pi}{2}; 2\pi]
\text{A: } \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{6}
\text{B: } \pi
\text{C: } -\frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{11\pi}{6}
\text{D: } 2\pi