Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003056

Пункт а. Используем $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и $\sin(-x)=-\sin x$:

$$1-2\sin^2 x-\sin x-1=0$$

Упростим и вынесем $\sin x$:

$$\sin x\,(2\sin x+1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\pi, \frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}, 2 \pi$$