ID: 00003056
а) Решите уравнение $\cos 2x + \sin(-x) - 1 = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{\pi}{2}; 2\pi \right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Используем $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и $\sin(-x)=-\sin x$:
$$1-2\sin^2 x-\sin x-1=0$$
Упростим и вынесем $\sin x$:
$$\sin x\,(2\sin x+1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\pi, \frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}, 2 \pi$$
$x = \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m, \ m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi c, \ c \in \mathbb{Z}$
$\text{б)} \ [\frac{\pi}{2}; 2\pi]$
$\text{A: } \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{6}$
$\text{B: } \pi$
$\text{C: } -\frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{11\pi}{6}$
$\text{D: } 2\pi$