Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003049

Пункт а. Заменим $4\sqrt3\sin^2 x=4\sqrt3(1-\cos^2 x)$ и перенесём всё влево:

$$4\cos^3 x+4\sqrt3\cos^2 x+3\cos x=0$$

Вынесем $\cos x$ — в скобке полный квадрат:

$$\cos x\,(2\cos x+\sqrt3)^2=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{17 \pi}{6}$$