ID: 00003049
$\text{а) Решите уравнение } 4 \cos^3 x + 3 \cos x + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \sin^2 x.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right] \text{ .}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Заменим $4\sqrt3\sin^2 x=4\sqrt3(1-\cos^2 x)$ и перенесём всё влево:
$$4\cos^3 x+4\sqrt3\cos^2 x+3\cos x=0$$
Вынесем $\cos x$ — в скобке полный квадрат:
$$\cos x\,(2\cos x+\sqrt3)^2=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{17 \pi}{6}$$
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \ m \in \mathbb{Z}$
$\text{б) Корни на отрезке } \left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$
$\text{A: } \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$
$\text{B: } \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 2 = \frac{5\pi}{2}$
$\text{C: } \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{17\pi}{6}$