Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00003048

Пункт а. Приведение $\cos\!\left(2x-\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin 2x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$2\sin x\cos x-\sqrt3\cos x=0$$

Вынесем $\cos x$:

$$\cos x\,(2\sin x-\sqrt3)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{2}$$