Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003047

Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и вынесем $\sin x$:

$$\sin x\,(4\cos^2 x-4\sqrt3\cos x+3)=0$$

В скобке — полный квадрат:

$$\sin x\,(2\cos x-\sqrt3)^2=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- 3 \pi, - \frac{13 \pi}{6}, - 2 \pi$$