ID: 00003047
$\text{а) Решите уравнение } 4 \sin x \cos^2 x - 2\sqrt{3} \sin 2x + 3 \sin x = 0.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и вынесем $\sin x$:
$$\sin x\,(4\cos^2 x-4\sqrt3\cos x+3)=0$$
В скобке — полный квадрат:
$$\sin x\,(2\cos x-\sqrt3)^2=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 3 \pi, - \frac{13 \pi}{6}, - 2 \pi$$
$\text{Ответ: а) } \left\{ \pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k : k \in \mathbb{Z} \right\}; \text{ б) } -\frac{13\pi}{6}, \ -3\pi, \ -2\pi.$