ID: 00003046
$\text{а) Решите уравнение } 2 \sin^3 x + \sqrt{2} \cos 2x + \sin x = \sqrt{2}.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \text{.}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Заменим $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и приведём подобные:
$$2\sin^3 x-2\sqrt2\sin^2 x+\sin x=0$$
Вынесем $\sin x$ — в скобке полный квадрат:
$$\sin x\,(\sqrt2\sin x-1)^2=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{13 \pi}{4}, - 3 \pi, - 2 \pi$$
$\text{Ответ: а) } \left\{ \pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k : k \in \mathbb{Z} \right\}; \text{ б) } -2\pi, -3\pi, -\frac{13\pi}{4}.$