ID: 00003045
$\text{а) Решите уравнение } 2 \cos^2 \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin 2x.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right] \text{.}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$, значит $\cos^2(\dots)=\sin^2 x$; и $\sin 2x=2\sin x\cos x$:
$$2\sin^2 x-2\sin x\cos x=0$$
Вынесем $2\sin x$:
$$2\sin x\,(\sin x-\cos x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\cos x\;\Rightarrow\;\operatorname{tg} x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- 3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- 3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 4 \pi, - \frac{15 \pi}{4}, - 3 \pi$$
$\text{Ответ: } x = -4\pi, \ -\frac{15\pi}{4}, \ -3\pi$