ID: 00003043
$\text{а) Решите уравнение } 2 \cos(2\pi + 2x) - 2 - \sqrt{8} \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x.$
$\text{б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right] \text{ .}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\cos(2\pi+2x)=\cos 2x=1-2\sin^2 x$; собрав, получим квадратное по $\sin x$:
$$4\sin^2 x+(2\sqrt2+2\sqrt3)\sin x+\sqrt6=0$$
Разложим на множители:
$$(2\sin x+\sqrt2)(2\sin x+\sqrt3)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{5 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{4}$$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \qquad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \qquad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\text{б)} \left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$
$A: -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{3}$
$B: -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{4}$