Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003043

Пункт а. Приведение $\cos(2\pi+2x)=\cos 2x=1-2\sin^2 x$; собрав, получим квадратное по $\sin x$:

$$4\sin^2 x+(2\sqrt2+2\sqrt3)\sin x+\sqrt6=0$$

Разложим на множители:

$$(2\sin x+\sqrt2)(2\sin x+\sqrt3)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{5 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{4}$$