Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003042

Пункт а. Приведение $\sin(x-\pi)=-\sin x$, $\cos^2 x=1-\sin^2 x$; собрав, получим квадратное по $\sin x$:

$$2\sin^2 x+(\sqrt2-2)\sin x-\sqrt2=0$$

Корни квадратного уравнения:

$$\sin x=1\quad\text{или}\quad \sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{3 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{4}$$