ID: 00003042
$\text{а) Решите уравнение } 2 - 2 \cos^2 x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2 \sin(x - \pi)$
$\text{б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку } \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right] \text{.}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\sin(x-\pi)=-\sin x$, $\cos^2 x=1-\sin^2 x$; собрав, получим квадратное по $\sin x$:
$$2\sin^2 x+(\sqrt2-2)\sin x-\sqrt2=0$$
Корни квадратного уравнения:
$$\sin x=1\quad\text{или}\quad \sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{3 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{4}$$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \qquad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{-3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
$\text{б)} \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$
$A: -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot (0) = -\frac{3\pi}{4}$
$B: +\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$