ID: 00003040
\text{а) Решите уравнение}
\sin 2x - \cos(\pi - x) = 0
\text{б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \text{.}
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем \sin 2x=2\sin x\cos x и \cos(\pi-x)=-\cos x:
2\sin x\cos x+\cos x=0
Вынесем \cos x:
\cos x\,(2\sin x+1)=0
Выпишем все серии корней:
\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
- \frac{7 \pi}{2}, - \frac{17 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{2}, - \frac{13 \pi}{6}
x=\frac{\pi}{2}+\pi c, c \in \mathbb{Z} \qquad x = -\frac{\pi}{6}+2\pi m, m \in \mathbb{Z}
x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}
\text{б)} \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]
A: -\frac{7\pi}{2}
B: \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{17\pi}{6}
C: \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-3) = -\frac{5\pi}{2}
D: -\frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{13\pi}{6}