Global EE

Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003040

Задание №14. Уравнения

Тригонометрические уравнения

№2. Задание 14

ID: 00003040

$\text{а) Решите уравнение}$

$\sin 2x - \cos(\pi - x) = 0$

$\text{б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \text{.}$

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\cos(\pi-x)=-\cos x$:

$$2\sin x\cos x+\cos x=0$$

Вынесем $\cos x$:

$$\cos x\,(2\sin x+1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{7 \pi}{2}, - \frac{17 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{2}, - \frac{13 \pi}{6}$$

Ответ

$x=\frac{\pi}{2}+\pi c, c \in \mathbb{Z} \qquad x = -\frac{\pi}{6}+2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$\text{б)} \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$

$A: -\frac{7\pi}{2}$

$B: \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{17\pi}{6}$

$C: \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-3) = -\frac{5\pi}{2}$

$D: -\frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{13\pi}{6}$

Другие задания по теме «Тригонометрические уравнения» (8)