ID: 00003040
$\text{а) Решите уравнение}$
$\sin 2x - \cos(\pi - x) = 0$
$\text{б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \text{.}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\cos(\pi-x)=-\cos x$:
$$2\sin x\cos x+\cos x=0$$
Вынесем $\cos x$:
$$\cos x\,(2\sin x+1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{7 \pi}{2}, - \frac{17 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{2}, - \frac{13 \pi}{6}$$
$x=\frac{\pi}{2}+\pi c, c \in \mathbb{Z} \qquad x = -\frac{\pi}{6}+2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\text{б)} \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$
$A: -\frac{7\pi}{2}$
$B: \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{17\pi}{6}$
$C: \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-3) = -\frac{5\pi}{2}$
$D: -\frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{13\pi}{6}$