Global EE

Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00003039

Задание №14. Уравнения

Тригонометрические уравнения

№2. Задание 14

ID: 00003039

$\text{а) Решите уравнение } \cos 2x + \cos(x - \pi) + 1 = 0.$

$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right] \text{ .}$

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а. Используем $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ и $\cos(x-\pi)=-\cos x$:

$$2\cos^2 x-1-\cos x+1=0$$

Вынесем общий множитель $\cos x$:

$$\cos x\,(2\cos x-1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{3}$$

Ответ

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \qquad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$

$\text{б)} \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$

$A: \frac{5\pi}{2}$

$B: \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$

$C: -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 2 = \frac{11\pi}{3}$

Другие задания по теме «Тригонометрические уравнения» (8)