ID: 00003038
$\text{а) Решите уравнение } \cos x \cdot \cos 2x = \sqrt{2} \sin^2 x + \cos x.$
$\text{б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right] \text{ .}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $\cos x\cos 2x-\cos x=\cos x(\cos 2x-1)$ и учтём $\cos 2x-1=-2\sin^2 x$:
$$-2\sin^2 x\cos x-\sqrt2\sin^2 x=0$$
Вынесем $-\sin^2 x$:
$$\sin^2 x\,(2\cos x+\sqrt2)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 2 \pi, - \frac{5 \pi}{4}, - \pi$$
$x=\pi n, n \in \mathbb{Z} \qquad x=\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$
$\text{б)} \left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$
$A: -2\pi$
$B: \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{5\pi}{4}$
$C: -\pi$