ID: 00002591
$\text{А) Решите уравнение } \frac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7}\sin x} = 0$
$\text{Б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку } [-\frac{13\pi}{2}; -5\pi]$
Источник: ФИПИ
Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.
Знаменатель $\sqrt7\,\sin x\neq0$, поэтому $\sin x\neq0$.
Пункт а. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (при ОДЗ). Приравняем степени двойки: $4^{\sin 2x}=2^{2\sin 2x}$:
$$2\sin 2x=2\sqrt3\,\sin x\;\Rightarrow\;\sin 2x=\sqrt3\sin x$$
Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и вынесем $\sin x$ (помним $\sin x\neq0$):
$$\sin x\,(2\cos x-\sqrt3)=0\;\Rightarrow\;\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{13 \pi}{2};\,- 5 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{13 \pi}{2};\,- 5 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{37 \pi}{6}, - \frac{35 \pi}{6}$$
$\text{Ответ для части а):}$
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$
$\text{б) Корни на отрезке } \left[-\frac{13\pi}{2}; -5\pi\right] \text{:}$
$x = -6\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{35\pi}{6}$
$x = -\frac{\pi}{6} - 6\pi = -\frac{37\pi}{6}$