Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002591

Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.

Знаменатель $\sqrt7\,\sin x\neq0$, поэтому $\sin x\neq0$.

Пункт а. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (при ОДЗ). Приравняем степени двойки: $4^{\sin 2x}=2^{2\sin 2x}$:

$$2\sin 2x=2\sqrt3\,\sin x\;\Rightarrow\;\sin 2x=\sqrt3\sin x$$

Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и вынесем $\sin x$ (помним $\sin x\neq0$):

$$\sin x\,(2\cos x-\sqrt3)=0\;\Rightarrow\;\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{13 \pi}{2};\,- 5 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{13 \pi}{2};\,- 5 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{37 \pi}{6}, - \frac{35 \pi}{6}$$