ID: 00002590
\text{а) Решите уравнение } 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3} \cos 2x = \sin x + \sqrt{3}
\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем 2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x и сократим \sin x:
\sqrt3\cos x-\sqrt3\cos 2x-\sqrt3=0
Разделим на \sqrt3, заменим \cos 2x=2\cos^2 x-1 и вынесем \cos x:
\cos x\,(1-2\cos x)=0
Выпишем все серии корней:
\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
- \frac{5 \pi}{3}, - \frac{3 \pi}{2}, - \frac{\pi}{2}
\text{Ответ: } x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}
\text{На отрезке } \left[-2\pi, -\frac{\pi}{2}\right] \text{:}
-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}
\frac{\pi}{3} + 2\pi(-1) = -\frac{5\pi}{3}