Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002590

Пункт а. Раскроем $2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x$ и сократим $\sin x$:

$$\sqrt3\cos x-\sqrt3\cos 2x-\sqrt3=0$$

Разделим на $\sqrt3$, заменим $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ и вынесем $\cos x$:

$$\cos x\,(1-2\cos x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{5 \pi}{3}, - \frac{3 \pi}{2}, - \frac{\pi}{2}$$