Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002589

Пункт а. Раскроем $2\sin\!\left(2x+\tfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin 2x+\cos 2x$; подставим и сократим $\sqrt3\sin 2x$:

$$\sin x+\cos 2x-1=0$$

Заменим $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и вынесем $\sin x$:

$$\sin x\,(1-2\sin x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{19 \pi}{6}, - 3 \pi, - 2 \pi$$