ID: 00002589
\text{а) Решите уравнение } \sin x + 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \sin 2x + 1.
\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right].
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем 2\sin\!\left(2x+\tfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin 2x+\cos 2x; подставим и сократим \sqrt3\sin 2x:
\sin x+\cos 2x-1=0
Заменим \cos 2x=1-2\sin^2 x и вынесем \sin x:
\sin x\,(1-2\sin x)=0
Выпишем все серии корней:
\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
- \frac{19 \pi}{6}, - 3 \pi, - 2 \pi
\text{Ответ: а)} \ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}
\text{б)} \ -3\pi, \ -2\pi, \ -\frac{19\pi}{6}