ID: 00002588
$\text{а) Решите уравнение } 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos 2x = \sqrt{3} \cos x + 1.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x$; подставим и сократим $\sqrt3\cos x$:
$$\sin x+\cos 2x-1=0$$
Заменим $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и вынесем $\sin x$:
$$\sin x\,(1-2\sin x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 3 \pi, - 2 \pi, - \frac{11 \pi}{6}$$
$\text{Ответ: а)} \quad x = \pi n, n \in \mathbb{Z}, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\text{На отрезке } \left[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}\right]$
$\text{б) } -3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$