ID: 00002588
\text{а) Решите уравнение } 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos 2x = \sqrt{3} \cos x + 1.
\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right].
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем 2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x; подставим и сократим \sqrt3\cos x:
\sin x+\cos 2x-1=0
Заменим \cos 2x=1-2\sin^2 x и вынесем \sin x:
\sin x\,(1-2\sin x)=0
Выпишем все серии корней:
\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
- 3 \pi, - 2 \pi, - \frac{11 \pi}{6}
\text{Ответ: а)} \quad x = \pi n, n \in \mathbb{Z}, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}
\text{На отрезке } \left[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}\right]
\text{б) } -3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}