Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002588

Пункт а. Раскроем $2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x$; подставим и сократим $\sqrt3\cos x$:

$$\sin x+\cos 2x-1=0$$

Заменим $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и вынесем $\sin x$:

$$\sin x\,(1-2\sin x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- 3 \pi, - 2 \pi, - \frac{11 \pi}{6}$$