ID: 00002586
$\text{а) Решите уравнение } 16^{\cos x} + 16^{\cos(\pi-x)} = \frac{17}{4}.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\cos(\pi-x)=-\cos x$, замена $t=16^{\cos x}>0$:
$$t+\frac1t=\frac{17}{4},\quad 4t^2-17t+4=0,\ t_1=4,\ t_2=\tfrac14$$
Обратно: $16^{\cos x}=4\Rightarrow \cos x=\tfrac12$; $16^{\cos x}=\tfrac14\Rightarrow \cos x=-\tfrac12$.
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{3}$$
$\text{Ответ: а)}$
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$\text{б) } \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$