Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002586

Пункт а. Приведение $\cos(\pi-x)=-\cos x$, замена $t=16^{\cos x}>0$:

$$t+\frac1t=\frac{17}{4},\quad 4t^2-17t+4=0,\ t_1=4,\ t_2=\tfrac14$$

Обратно: $16^{\cos x}=4\Rightarrow \cos x=\tfrac12$; $16^{\cos x}=\tfrac14\Rightarrow \cos x=-\tfrac12$.

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{3}$$