ID: 00002586
\text{а) Решите уравнение } 16^{\cos x} + 16^{\cos(\pi-x)} = \frac{17}{4}.
\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right].
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение \cos(\pi-x)=-\cos x, замена t=16^{\cos x}>0:
t+\frac1t=\frac{17}{4},\quad 4t^2-17t+4=0,\ t_1=4,\ t_2=\tfrac14
Обратно: 16^{\cos x}=4\Rightarrow \cos x=\tfrac12; 16^{\cos x}=\tfrac14\Rightarrow \cos x=-\tfrac12.
Выпишем все серии корней:
\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\cos x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{3}
\text{Ответ: а)}
x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\text{б) } \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}