ID: 00002585
\text{а) Решите уравнение } \left(\frac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3} \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}
\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right].
Источник: ФИПИ
Пункт а. Запишем обе части как степени 7: \left(\tfrac1{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{2\sin x} и 7^{2\sqrt3\sin(\pi/2-x)}=7^{2\sqrt3\cos x}:
7^{2\sin x}=7^{2\sqrt3\cos x}\;\Rightarrow\;\sin x=\sqrt3\cos x
Разделим на \cos x\neq0:
\operatorname{tg} x=\sqrt3
Выпишем все серии корней:
\operatorname{tg} x=\sqrt3\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\frac{10 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{3}
\text{Ответ: а) } x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \text{ ; б) } \frac{10\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}