ID: 00002585
$\text{а) Решите уравнение } \left(\frac{1}{49}\right)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3} \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Запишем обе части как степени $7$: $\left(\tfrac1{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{2\sin x}$ и $7^{2\sqrt3\sin(\pi/2-x)}=7^{2\sqrt3\cos x}$:
$$7^{2\sin x}=7^{2\sqrt3\cos x}\;\Rightarrow\;\sin x=\sqrt3\cos x$$
Разделим на $\cos x\neq0$:
$$\operatorname{tg} x=\sqrt3$$
Выпишем все серии корней:
$$\operatorname{tg} x=\sqrt3\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{10 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{3}$$
$\text{Ответ: а) } x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \text{ ; б) } \frac{10\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}$