Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002583

Пункт а. Замена $u=9^{\sin x}>0$ ($81^{\sin x}=u^2$):

$$27u^2-12u+1=0,\quad u_1=\tfrac13,\ u_2=\tfrac19$$

Обратно: $9^{\sin x}=\tfrac13\Rightarrow \sin x=-\tfrac12$; $9^{\sin x}=\tfrac19\Rightarrow \sin x=-1$.

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$$