ID: 00002583
$\text{а) Решите уравнение } 27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right] \text{ .}$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Замена $u=9^{\sin x}>0$ ($81^{\sin x}=u^2$):
$$27u^2-12u+1=0,\quad u_1=\tfrac13,\ u_2=\tfrac19$$
Обратно: $9^{\sin x}=\tfrac13\Rightarrow \sin x=-\tfrac12$; $9^{\sin x}=\tfrac19\Rightarrow \sin x=-1$.
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$$
$\text{Ответ: а) } x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad c \in \mathbb{Z}$
$\text{б) } \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$