ID: 00002582
$\text{а) Решите уравнение } 16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Замена $t=4^{\sin x}>0$ ($16^{\sin x}=t^2$):
$$t^2-6t+8=0,\quad t_1=2,\ t_2=4$$
Обратно: $4^{\sin x}=2\Rightarrow \sin x=\tfrac12$; $4^{\sin x}=4\Rightarrow \sin x=1$.
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 5 \pi;\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 5 \pi;\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{23 \pi}{6}, - \frac{7 \pi}{2}$$
$\text{Ответ для части а):}$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, m, n \in \mathbb{Z}$
$\text{б) Корни на отрезке } \left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]$
$1. \text{ Корни уравнения:}$
$x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$
$x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$
$\text{Итоговый ответ для части б):}$
$-\frac{7\pi}{2}, -\frac{23\pi}{6}$