Global EE

Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002582

Задание №14. Уравнения

Тригонометрия и показательные выражения

№2. Задание 14

ID: 00002582

$\text{а) Решите уравнение } 16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0.$

$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right].$

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а. Замена $t=4^{\sin x}>0$ ($16^{\sin x}=t^2$):

$$t^2-6t+8=0,\quad t_1=2,\ t_2=4$$

Обратно: $4^{\sin x}=2\Rightarrow \sin x=\tfrac12$; $4^{\sin x}=4\Rightarrow \sin x=1$.

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 5 \pi;\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 5 \pi;\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{23 \pi}{6}, - \frac{7 \pi}{2}$$

Ответ

$\text{Ответ для части а):}$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, m, n \in \mathbb{Z}$

$\text{б) Корни на отрезке } \left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]$

$1. \text{ Корни уравнения:}$

$x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$

$\text{Итоговый ответ для части б):}$

$-\frac{7\pi}{2}, -\frac{23\pi}{6}$

Другие задания по теме «Тригонометрия и показательные выражения» (8)