Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002580

Пункт а. Запишем $16^{\sin^2 x}=4^{2\sin^2 x}$ и $\cos 2x=1-2\sin^2 x$, то есть $2\sin^2 x=1-\cos 2x$:

$$4\cdot 4^{\,1-\cos 2x}-6\cdot 4^{\cos 2x}=29$$

Замена $t=4^{\cos 2x}>0$ и $4\cdot 4^{1-\cos2x}=\dfrac{16}{t}$:

$$\frac{16}{t}-6t=29,\quad 6t^2+29t-16=0,\ t=\tfrac12$$

Обратно: $4^{\cos 2x}=\tfrac12\Rightarrow \cos 2x=-\tfrac12$.

Выпишем все серии корней:

$$\cos 2x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{5 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}$$