ID: 00002579
$\text{а) Решите уравнение } 27^x - 28 \cdot 3^{x+1} + 3^{5-x} = 0.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } [\sqrt{3}; \log_2 5].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Выразим через $3^x$ и домножим на $3^x>0$:
$$3^{4x}-84\cdot 3^{2x}+243=0$$
Замена $t=3^{2x}>0$:
$$t^2-84t+243=0,\quad t_1=81,\ t_2=3$$
Обратно: $3^{2x}=81\Rightarrow x=2$; $3^{2x}=3\Rightarrow x=\tfrac12$.
Выпишем все серии корней:
$$x_1=2,\qquad x_2=\tfrac12$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\sqrt3;\,\log_2 5\right]$. Для каждого корня проверим двойное неравенство $\sqrt{3}\le x\le \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$ и оставим попавшие на отрезок.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$2$$
$\text{Ответ: } 2$