Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002578

Пункт а. Выразим все степени через $2^x$: $8^x=2^{3x}$, $9\cdot2^{x+1}=18\cdot2^x$, $2^{5-x}=\dfrac{32}{2^x}$, и домножим на $2^x>0$:

$$2^{4x}-18\cdot 2^{2x}+32=0$$

Замена $t=2^{2x}>0$ сводит к квадратному:

$$t^2-18t+32=0,\quad t_1=16,\ t_2=2$$

Обратная замена: $2^{2x}=16\Rightarrow x=2$ и $2^{2x}=2\Rightarrow x=\tfrac12$.

Выпишем все серии корней:

$$x_1=2,\qquad x_2=\tfrac12$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_5 2;\,\log_5 20\right]$. Для каждого корня проверим двойное неравенство $\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}\le x\le \frac{\log{\left(20 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$ и оставим попавшие на отрезок.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{1}{2}$$