ID: 00002576
$\text{а) Решите уравнение } 2\sin^3 x = \sqrt{2}\cos^2 x + 2 \sin x.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Заменим $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ и перенесём всё влево:
$$2\sin^3 x-\sqrt2(1-\sin^2 x)-2\sin x=0$$
Группировка по $(\sin^2 x-1)$:
$$(\sin^2 x-1)(2\sin x+\sqrt2)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad \sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{7 \pi}{2}, - \frac{11 \pi}{4}, - \frac{5 \pi}{2}$$
$\text{б) Ответ:}$
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\text{Корни на заданном отрезке:} \quad -\frac{5\pi}{2}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{7\pi}{2}$