ID: 00002573
$\text{а) Решите уравнение } 2\sqrt{3}\sin^2\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) + \sin 2x = 0.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\sin\!\left(x+\tfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$:
$$2\sqrt3\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$
Вынесем $2\cos x$:
$$2\cos x\,(\sqrt3\cos x+\sin x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\operatorname{tg} x=-\sqrt3\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{7 \pi}{2}, - \frac{10 \pi}{3}, - \frac{5 \pi}{2}$$
$\text{б) Ответ:}$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi c, c \in \mathbb{Z}$
$\text{Корни на заданном отрезке: } -\frac{7\pi}{2}, -\frac{10\pi}{3}, -\frac{5\pi}{2}$