Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002573

Пункт а. Приведение $\sin\!\left(x+\tfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$2\sqrt3\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$

Вынесем $2\cos x$:

$$2\cos x\,(\sqrt3\cos x+\sin x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\operatorname{tg} x=-\sqrt3\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{7 \pi}{2}, - \frac{10 \pi}{3}, - \frac{5 \pi}{2}$$