ID: 00002572
\text{а) Решите уравнение } \sin 2x + \sqrt{2}\sin(x+\pi) = 0.
\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } [-4\pi; -5\pi/2].
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем \sin 2x=2\sin x\cos x и \sin(x+\pi)=-\sin x:
2\sin x\cos x-\sqrt2\,\sin x=0
Вынесем \sin x:
\sin x\,(2\cos x-\sqrt2)=0
Выпишем все серии корней:
\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
- 4 \pi, - \frac{15 \pi}{4}, - 3 \pi
\text{б) Ответ:}
x = \pi n, n \in \mathbb{Z}
x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}
\text{Корни на заданном отрезке:} \qquad -4\pi, -\frac{15\pi}{4}, -3\pi