Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002572

Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\sin(x+\pi)=-\sin x$:

$$2\sin x\cos x-\sqrt2\,\sin x=0$$

Вынесем $\sin x$:

$$\sin x\,(2\cos x-\sqrt2)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- 4 \pi, - \frac{15 \pi}{4}, - 3 \pi$$