ID: 00002572
$\text{а) Решите уравнение } \sin 2x + \sqrt{2}\sin(x+\pi) = 0.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } [-4\pi; -5\pi/2].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\sin(x+\pi)=-\sin x$:
$$2\sin x\cos x-\sqrt2\,\sin x=0$$
Вынесем $\sin x$:
$$\sin x\,(2\cos x-\sqrt2)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 4 \pi, - \frac{15 \pi}{4}, - 3 \pi$$
$\text{б) Ответ:}$
$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$
$\text{Корни на заданном отрезке:} \qquad -4\pi, -\frac{15\pi}{4}, -3\pi$