Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002570

Пункт а. Заменим $\sin^2 x=1-\cos^2 x$:

$$2(1-\cos^2 x)\cos x+\sqrt2\cos^2 x-\sqrt2=0$$

Группировка по $(\cos^2 x-1)$:

$$(\cos^2 x-1)(\sqrt2-2\cos x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=1\;\Rightarrow\;x=2\pi n;\quad \cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- 3 \pi, - \frac{9 \pi}{4}, - 2 \pi$$