ID: 00002570
$\text{а) Решите уравнение } 2\sin^2 x \cdot \cos x + \sqrt{2}\cos^2 x = \sqrt{2}$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Заменим $\sin^2 x=1-\cos^2 x$:
$$2(1-\cos^2 x)\cos x+\sqrt2\cos^2 x-\sqrt2=0$$
Группировка по $(\cos^2 x-1)$:
$$(\cos^2 x-1)(\sqrt2-2\cos x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=1\;\Rightarrow\;x=2\pi n;\quad \cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 3 \pi, - \frac{9 \pi}{4}, - 2 \pi$$
$\text{б) Ответ:}$
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$
$\text{Корни на заданном отрезке: } -3\pi, -\frac{9\pi}{4}, -2\pi$