Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002569

Пункт а. Заменим $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ и перенесём всё влево:

$$2\cos^3 x+\sqrt2(1-\cos^2 x)-2\cos x=0$$

Группировка по $(\cos^2 x-1)$:

$$(\cos^2 x-1)(2\cos x-\sqrt2)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=1\;\Rightarrow\;x=2\pi n;\quad \cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$3 \pi, \frac{15 \pi}{4}, 4 \pi$$