ID: 00002569
$\text{а) Решите уравнение } 2\cos^3 x + \sqrt{2}\sin^2 x = 2 \cos x.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Заменим $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ и перенесём всё влево:
$$2\cos^3 x+\sqrt2(1-\cos^2 x)-2\cos x=0$$
Группировка по $(\cos^2 x-1)$:
$$(\cos^2 x-1)(2\cos x-\sqrt2)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=1\;\Rightarrow\;x=2\pi n;\quad \cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$3 \pi, \frac{15 \pi}{4}, 4 \pi$$
$\text{б) Ответ:}$
$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$
$\text{Корни на заданном отрезке: } 3\pi, \frac{15\pi}{4}, 4\pi$