ID: 00002566
$\text{а) Решите уравнение } \operatorname{tg}^2 x + (1 + \sqrt{3})\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0.$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$. Разложим на множители:
$$(\operatorname{tg} x+1)(\operatorname{tg} x+\sqrt3)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\operatorname{tg} x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\operatorname{tg} x=-\sqrt3\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{8 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{4}, \frac{11 \pi}{3}, \frac{15 \pi}{4}$$
$\text{Корни: } \frac{8\pi}{3} ; \frac{11\pi}{4} ; \frac{11\pi}{3} ; \frac{15\pi}{4}$