ID: 00002563
\text{а) Решите уравнение } 2\cos^2 x + 3 \sin(x + \pi) - 3 = 0
\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right].
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение \sin(x+\pi)=-\sin x и \cos^2 x=1-\sin^2 x:
2(1-\sin^2 x)-3\sin x-3=0
После упрощения и умножения на -1 — квадратное относительно \sin x:
2\sin^2 x+3\sin x+1=0,\quad (2\sin x+1)(\sin x+1)=0
Выпишем все серии корней:
\sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\frac{19 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2}
\text{Ответ для части а):}
x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, m, n \in \mathbb{Z}
\text{б) Корни на отрезке } \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]
\text{Корни уравнения:}
x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}
x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}
\text{Итоговый ответ б): } \frac{7\pi}{2}, \frac{19\pi}{6}