ID: 00002563
$\text{а) Решите уравнение } 2\cos^2 x + 3 \sin(x + \pi) - 3 = 0$
$\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\sin(x+\pi)=-\sin x$ и $\cos^2 x=1-\sin^2 x$:
$$2(1-\sin^2 x)-3\sin x-3=0$$
После упрощения и умножения на $-1$ — квадратное относительно $\sin x$:
$$2\sin^2 x+3\sin x+1=0,\quad (2\sin x+1)(\sin x+1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{19 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2}$$
$\text{Ответ для части а):}$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, m, n \in \mathbb{Z}$
$\text{б) Корни на отрезке } \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$
$\text{Корни уравнения:}$
$x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}$
$x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$
$\text{Итоговый ответ б): } \frac{7\pi}{2}, \frac{19\pi}{6}$