Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00002562

Пункт а. Применим $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и приведение $\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$:

$$1-2\sin^2 x-\sqrt2\,\sin x-1=0$$

Вынесем $\sin x$:

$$\sin x\,(2\sin x+\sqrt2)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi, 3 \pi$$