ID: 00002562
\text{а) Решите уравнение } \cos 2x - \sqrt{2} \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 1 = 0.
\text{б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку } \left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right].
Источник: ФИПИ
Пункт а. Применим \cos 2x=1-2\sin^2 x и приведение \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x:
1-2\sin^2 x-\sqrt2\,\sin x-1=0
Вынесем \sin x:
\sin x\,(2\sin x+\sqrt2)=0
Выпишем все серии корней:
\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi, 3 \pi
x = \pi n, n \in \mathbb{Z}
x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}
x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}
\text{Отбор корней на отрезке } \left[\frac{3\pi}{4}, 3\pi\right] :
A: -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}
B: 2\pi
D: 3\pi