Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002561

Пункт а. Применим $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и приведение $\sin(x+\pi)=-\sin x$:

$$1-2\sin^2 x+\sqrt2\,\sin x-1=0$$

Вынесем $\sin x$ за скобку:

$$\sin x\,(\sqrt2-2\sin x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{13 \pi}{4}, - 3 \pi, - 2 \pi$$