ID: 00002561
$\text{а) Решите уравнение } \cos 2x - \sqrt{2}\sin(x + \pi) - 1 = 0.$
$\text{б) Отбор корней на отрезке } \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]:$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Применим $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и приведение $\sin(x+\pi)=-\sin x$:
$$1-2\sin^2 x+\sqrt2\,\sin x-1=0$$
Вынесем $\sin x$ за скобку:
$$\sin x\,(\sqrt2-2\sin x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{13 \pi}{4}, - 3 \pi, - 2 \pi$$
$\text{Ответ:}$
$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi c, c \in \mathbb{Z}$
$\text{Корни на заданном отрезке: } -\frac{13\pi}{4}, -3\pi, -2\pi$