ID: 00002560
а) Решите уравнение $\cos 2x + \cos(-x) = 0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right].$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ и чётность косинуса $\cos(-x)=\cos x$ — получим квадратное уравнение относительно $\cos x$:
$$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$
Разложим левую часть на множители как квадратный трёхчлён относительно $\cos x$:
$$(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 3 \pi, - \frac{7 \pi}{3}$$
$x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \qquad x_2 = \pi + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$
Отбор корней на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}, 2\pi\right]:$
$A: \pi - 4\pi = -3\pi$
$B: -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$