Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002560

Пункт а. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ и чётность косинуса $\cos(-x)=\cos x$ — получим квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$

Разложим левую часть на множители как квадратный трёхчлён относительно $\cos x$:

$$(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- 3 \pi, - \frac{7 \pi}{3}$$