Вычисление… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00002520

Вынесем общий множитель $5\sqrt{2}$ за скобки, тогда внутри останется разность квадратов косинуса и синуса одного угла: $5\sqrt{2}\left(\cos^2\dfrac{7\pi}{8}-\sin^2\dfrac{7\pi}{8}\right)$.

Разность $\cos^2 x-\sin^2 x$ — это в точности косинус двойного угла $\cos 2x$. Удваиваем угол $\dfrac{7\pi}{8}$ и получаем $5\sqrt{2}\cos\dfrac{7\pi}{4}$.

Угол $\dfrac{7\pi}{4}$ лежит в четвёртой четверти, где косинус положительный; до полного оборота ему не хватает $\dfrac{\pi}{4}$, поэтому $\cos\dfrac{7\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Осталось перемножить: $5\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\cdot 2}{2}=5$.